Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，D为AC的中点，以BD为折痕，将△BCD折叠，使得C点到达C₁点的位置，连接AC₁．

求证：四边形ABDC₁是菱形．

Answer 1

证法一：(有一组邻边相等的平行四边形是菱形)

∵∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，D为AC的中点，

∴BD＝CD＝AD                               

∵∠BAC＝60°

∴△BDA为等边三角形

∴BD＝BA                                  

根据折叠可知CD＝DC`∠C＝∠BC`D＝30°

∵BD＝CD

∴∠C＝∠CBD＝30°

∵∠CBD＝∠C`BD

∴∠C`BD ＝30°

∴∠BC`D＝∠C`BA＝30°

∴DC`∥BA                               

又DC`＝CD   CD＝BD＝BA

∴DC`＝BA

∴四边形DBAC`为平行四边形                 

又BD＝BA

∴平行四边形DBAC`为菱形                   

证法二：(四条边相等的四边形是菱形)

∵Rt△ABC中，D为AC的中点

∴BD＝CD＝AD＝AC  又∠BAC＝60°       

∴△BDA为等边三角形

∴BD＝BA＝AD                             

根据折叠可知△CBD≌△C`BD

∴CD＝C`D

∵∠BAC＝60°

∴∠C＝30°

∵CD＝BD

∴∠C＝∠CBD＝30°   又∠DBC`＝∠CBD＝30°

∴∠ABC`＝30°

∴∠ABC`＝∠DBC`

∵DA＝BA，BC`为公共边   

∴△BDC`≌△BAC`

∴C`D＝AC`又CD＝BD                     

∴C`D＝BD＝BA＝AC`                       

∴四边形DBAC`为菱形