Question

2．某种进价为每件40元的商品，通过调查发现，当销售单价在40元至65元之间（40≤x≤65）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）设每月获得的利润为P（元），求P与x之间的函数关系式；
（3）若想每月获得1600元的利润，那么销售单价应定为多少元？
（4）当销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？

Answer 1

分析 （1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），将（40，200），（60，120）代入，利用待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据由题意得，p与x的函数关系式为：p=（x-40）（-4x+360）；
（3）再利用当P=2400时，解方程求出x的值即可；
（4）根据（2）的函数关系式，利用求二次函数最值的方法便可解出答案．

解答 解：（1）解（1）设y与x的函数关系式为：y=kx+b（k≠0），
由题意得
$\left\{\begin{array}{l}{40k+b=200}\\{60k+b=120}\end{array}\right.$，
解得
$\left\{\begin{array}{l}{k=-4}\\{b=360}\end{array}\right.$．
故y=-4x+360（40≤x≤65）；
（2）由题意得，p与x的函数关系式为：
p=（x-40）（-4x+360）=-4x²+520x-14400，
（3）当P=1600时，
-4x²+520x-14400=1600，
解得：x₁=50，x₂=80（不合题意舍去），
故销售单价应定为50元．
（4）由题意得，p与x的函数关系式为：
p=（x-40）（-4x+360）=-4x²+520x-14400=-4（x-65）²+2500，
当x=65元时，最大利润是2500元．

点评 此题考查了一次函数与二次函数的应用，根据已知图象上点的坐标得出直线解析式是解题关键掌握待定系数法是解题的关键．