Question

△ABC的三边长分别为a，b，c，并且a＞b＞c，a，b，c都正整数，满足条件

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，试判断△ABC是否存在，并说明理由．

Answer 1

分析：因为a＞b＞c，a、b、c都正整数，所以从最小的正整数c开始分析，分别探讨a、b、c的数值，得出答案即可．

解答：解：因为a＞b＞c，a，b，c都是正整数
所以c的最小值是1；
（1）当c=1时，

1

a

+

1

b

+

1

c

=1；

（2）当c=2，b=3，a=4时，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

+

1

3

+

1

4

＞1，
当c=2，b=3，a=5时，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

+

1

3

+

1

5

=

31

30

＞1，
当c=2，b=3，a=6时，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

+

1

3

+

1

6

=1，但2+3＜6，不能组成三角形，
当c=2，b=3，a=6+K时，

1

a

+

1

b

+

1

c

＜1；

（3）当c=2，b=4，a=5时，

1

a

+

1

b

+

1

c

=

19

20

＜1，
当c=2，b=4+M，a=5+N，（M不大于N）时，

1

a

+

1

b

+

1

c

＜1，
所以△ABC不存在．

点评：此题考查三角形的三边关系，分数的拆分，以及正整数的特性，渗透分类讨论思想．