题目内容
【题目】我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在平行四边形，矩形，菱形、正方形中，一定是十字形的有 ；
②若凸四边形ABCD是十字形，AC＝a，BD＝b，则该四边形的面积为 ；
（2）如图1，以等腰Rt△ABC的底边AC为边作等边三角形△ACD，连接BD，交AC于点O， 当 
≤S 四边形≤
时，求BD的取值范围；
（3）如图2，以十字形ABCD的对角线AC与BD为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，若计 十字形ABCD的面积为S，记△AOB，△COD，△AOD，△BOC的面积分别为：S1，S2，S3，S4，且同时满足列四个条件：
①
；② 
；③十字形ABCD的周长为32：④∠ABC＝60°； 若E为OA的中点，F为线段BO上一动点，连接EF，动点P从点E出发，以1cm/s 的速度沿线段EF匀速运动到点F，再以2cms 的速度沿线段FB匀速运动到点B，到达点B 后停止运动，当点P沿上述路线运动 到点B所需要的时间最短时，求点P走完全程所需的时间及直线EF的解析式．
【答案】（1）①菱形和正方形；②
ab；（2）
≤BD≤2；（3）点P走完全程所需的时间t=
，直线EF的解析式为y=
x+
．
【解析】
（1）①根据菱形，正方形和矩形的性质即可判断；
②根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半计算即可；
（2）设AC的长为x，根据△ABC为等腰直角三角形，△ACD为等边三角形，得出OB=x，OD=
=
x，即BD=x+x，再根据
≤S四边形≤
运算即可；
（3）首先设A（-a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，-d），然后根据
，
，得出a=c，b=d，再结合已知条件推吹四边形ABCD是有一个角为60°的菱形，根据菱形ABCD的周长为32，即可得出AB=8，OA=4，OB=
，OE=2，过F点作FM⊥BC交BC于M点，可得FM=FBsin30°=FB，可得点P的运动时间t=
=EF+FB=EF+FM，当E，F，M三点共线时EF+FM的值最小，由此可推出t=；根据在Rt△EOF中，OE=2，∠FEO=30°，可推出F（0，），再结合点E的坐标为（-2，0），即可求出EF的解析式．
（1）①∵菱形和正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，
∴菱形和正方形一定是十字形；
②对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，
∴四边形的面积为ab；
（2）设AC的长为x，
∵△ABC为等腰直角三角形，△ACD为等边三角形，
∴OB=x，OD==x，
∴BD=x+x，
∵≤S四边形≤
≤x（x+x）≤
≤
x2≤
≤x2≤
≤x≤
∴
≤
x≤
即≤BD≤2；
（3）设A（-a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，-d），
∴S1=ab，S2=cd，S3=ad，S4=bc，
∵，，
∴S=S1+S2+
=ab+cd+
，
S=S3+S4+
=ad+bc+，
即ab+cd=ad+bc
ab-ad=bc-cd
a（b-d）=c（b-d）
即a=c，同理b=d，
∴△AOB≌△BOC，△AOB≌△AOD，
∴AB=BC，AB=AD，
∵∠ABC=60°，
∴四边形ABCD是有一个角为60°的菱形，
∵菱形ABCD的周长为32，
∴AB=8，OA=4，OB=，
∵点E为OA的中点，
∴OE=2，
过F点作FM⊥BC交BC于M点，可得FM=FBsin30°=FB，
∴点P的运动时间t==EF+FB=EF+FM，
∴当E，F，M三点共线时EF+FM的值最小，
∵∠ECM=60°，AC=AB，点E为OA的中点，
∴CE=6，∠∠FEO=30°，E（-2，0），
∴CM=3，EM=，即t=，
在Rt△EOF中，OE=2，∠FEO=30°，
∴OF=，即F（0，），
∴设EF的解析式为y=kx+b，
将E，F的坐标代入得
，
解得：
，
∴EF的解析式为y=x+，
综上：点P走完全程所需的时间t=，直线EF的解析式为y=x+．
