Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，现将△ABC沿射线BC的方向平移a（a＜5）个单位得到△DEF．
（1）求EF的长度；
（2）当a=3时，连接AE、BD，试判断AE、BD之间的位置关系，并说明理由；
（3）探究：当a为何值时，△ADE是等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出；
（2）连接AD，首先判断四边形ABED是平行四边形，再根据AB=BE，即可判定四边形ABED是菱形，根据菱形的性质，判断AE、BD之间的位置关系；
（3）此小题需要分三种情况进行讨论，①当a=AD=DE=3时，△ADE是等腰三角形；②当AE=DE=3时，△ADE是等腰三角形；③当AE=AD时，△ADE是等腰三角形；求出三种情况下的a的值即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC=

AB2+AC2

=

32+42

=5，
∴EF=BC=5．

（2）AE、BD之间的位置关系是垂直且平分．
理由是：
连接AD．
∵AB∥DE，AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∵AB=BE=3，
∴四边形ABED是菱形，
∴AE、BD垂直且平分．

（3）分三种情况讨论：
①如图1，当a=AD=DE=3时，△ADE是等腰三角形；
②如图2，当AE=DE=3时，△ADE是等腰三角形．
作EM⊥AD，垂足为M，则有：
AM=

1

2

AD=

1

2

a，
在Rt△AEM中，由勾股定理得：
AE²=AM²+EM²，
即：3²=2.4²+（

1

2

a）²，
解得a=3.6．
③方法一：
当a=2.5时，△ADE是等腰三角形．
∵当a=2.5时，BE=CE=2.5，
∵∠BAC=90°，
∴AE=

1

2

BC=2.5，
又∵AD=a，
∴AE=AD=2.5，
即当a=AE=AD=2.5时，△ADE是等腰三角形；
综上所述，当a=3或3.6或2.5时，△ADE是等腰三角形．
方法二：
如图3，当AE=AD时，△ADE是等腰三角形．
设Rt△ABC中BC边上的高为h，则有：

1

2

×3×4=

1

2

×5×h，解得h=2.4．
由已知可得：AC⊥DE，设垂足为点P，
∵AE=DE，
∴DP=EP=

1

2

DE=1.5，
∵S_ABED=BE×h=DE×AP，
即：2.4a=3AP，解得AP=0.8a，
在Rt△AEP中，∠APE=90°，
∴AE²=PE²+AP²，即：a²=1.5²+（0.8a）²，解得：a=2.5，
即当a=AE=AD=2.5时，△ADE是等腰三角形；
综上所述，当a=3或3.6或2.5时，△ADE是等腰三角形．

点评：本题主要考查几何变换综合题，解答本题的关键是熟练掌握平移知识，平行四边形的判定、菱形的性质及运用分类思想解决问题的方法，此题难度较大，特别是第三问a不止一个数值，同学们解答的时候一定要细心．