Question

已知在等式

ax+b

cx+d

=s中，a，b，c，d都是有理数，x是无理数，
（1）当a，b，c，d满足什么条件时，s是有理数；
（2）当a，b，c，d满足什么条件时，s是无理数．

Answer 1

（1）当a=c=0，d≠0时，s=

b

d

是有理数．
当c≠0时，s=

ax+b

cx+d

=

a c (cx+d)+b- ad c

cx+d

=

a

c

+

b- ad c

cx+d

，
其中：

a

c

是有理数，cx+d是无理数，b-

ad

c

是有理数．
要使s为有理数，只有b-

ad

c

=0，即bc=ad．
综上知，当a=c=0且d≠0或c≠0且ad=bc时，s是有理数．
（2）当c=0，d≠0，且a≠0时，s是无理数．
当c≠0时，s=

ax+b

cx+d

=

a c (cx+d)+b- ad c

cx+d

=

a

c

+

b- ad c

cx+d

其中：

a

c

是有理数，cx+d是无理数，b-

ad

c

是有理数．
所以当b-

ad

c

≠0，即bc≠ad，s为无理数．
综上知，当c=0，a≠0，d≠0或c≠0，ad≠bc时，s是无理数．