Question

1．已知如图所示，BC为半圆O的直径，AB⊥BC，垂足为D，过点B作弦BF交AD于点E，交半圆O于点F，弦AC与BF交于点H，且AE＝BE，求证：(1)＝；(2)AH·BC＝2AB·BE．

2．在上题中若加上条件sin∠FBC＝，AB＝4，求AD的长．

Answer 1

答案：
解析：

1．解答：(1)∵AE＝BE，∴∠BAE＝∠ABE． 　　而∠BAE＝∠ACB，∠ACB＝∠ABE＝∠ACF，∴∠ACB＝∠FCA，即＝． 　　(2)如图，延长BA与CF延长线交于M．∵BC是直径，∴∠BAC＝，而∠ACB＝∠ACF，∴AB＝AM，∠EAH＝∠ABC，而∠AHE＝∠ACB＋∠FBC＝∠ABF＋∠FBC＝∠ABD， 　　 　　∴∠EAH＝∠AHE＝∠ABC＝∠BMC． 　　∴△AEH∽△BCM，∴＝＝， 　　而AE＝BE，即AH·BC＝2AB·BE． 　　2．解答：设DE＝3x，∴sin∠FBC＝＝，∴BE＝5x，∴AD＝8x，BD＝＝＝4x， 　　在Rt△ABD中，则(8x)2＋(4x)2＝(4)2． 解得x＝1，∴AD＝8．

提示：

1．名师导引：(1)∠ACB＝∠BAD，而AE＝BE，∴∠ABE＝∠BAE，∠FCA＝∠ABE． 　　(2)延长BA与CF延长线交于M．证明△AEH∽△BMC． 　　2．名师导引：令DE＝3x，则BE＝5x，BD＝4x，构建直角三角形求出x． 　　点评：运用三角函数，勾股定理是求线段常见方法．