Question

已知AB是⊙O中一条长为4的弦，P是⊙O上一动点，cosAPB=,问是否存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形，试说明理由；若存在，求出这个三角形的面积．

 

Answer 1

答案：
解析：

存在以A、P、B为顶点的面积最大的三角形． 取的中点P，作PD⊥AB于D，即PD为弓形的高，且PD所在直线必过圆心O． ∵AB的长为定值，∴当点P在优弧中点时，点P到直线AB的距离最大，△ABP的面积最大．连结PA、PB，则△APB为等腰三角形，此三角形为所求．作⊙O直径AC，连BC，则∠ABC=90°，∠APB=∠C, ∴cos∠APB=cos∠C=．设BC=x,则AC=3x．在Rt△ABC中，AB=4,∵AC2=AB2+BC2, ∴(3x)2=42+x2,解得x=± (舍去负值) ∴BC=,AC=3,PO=． ∵AO=OC,AD=DB, ∴OD=BC=．  ∴PD=PO+OD=2, ∴S△APB=AB·PD=否4否2=4．

提示：

先作一个简图，如图，由S△ABP=AB·h，因此只要考查点P在什么位置时到AB的距离最大，结合图形容易找到这样的点P．