题目内容

已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=4．现以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
（1）求点C的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx（a≠0）经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
（3）若⊙P的半径为R，圆心P在（2）的抛物线上运动，问：是否存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切？若存在，请求出此时⊙P半径R的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）过C作CH⊥OA于H，
∵将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处，
∴OC=OA=4，∠A0C=60°，
∴OH=2，CH=2 $\text{[math]}$ ，
∴C的坐标是（2，2 $\text{[math]}$ ），
答：C点坐标为（2，2 $\text{[math]}$ ）．

（2）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx，
把A（4，0），C（2，2 $\text{[math]}$ ）代入得： $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
答：此抛物线的解析式为 $\text{[math]}$ ．

（3）存在．
设圆心P（x，y），则当⊙P与两坐标轴都相切时，有y=±x，
由y=x，得 $\text{[math]}$ ，
解得x₁=0（舍去）， $\text{[math]}$ ，
由y=-x，得 $\text{[math]}$ ，
解得x₁=0（舍去）， $\text{[math]}$ ，
∴所求⊙P的半径 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
答：存在这样的点P，使得⊙P与两坐标轴都相切，此时⊙P半径R的值是4+ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 或4- $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）过C作CH⊥OA于H，根据折叠得到OC=OA=4，∠A0C=60°，求出OH和CH即可；
（2）设抛物线的解析式为：y=ax²+bx，把A（4，0），C（2，2 $\text{[math]}$ ）代入得到方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据圆与x、y轴相切得出直线y=±x，根据y=x，y=-x得出方程，求出方程的解即可．
点评：本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，勾股定理，含30度角的直角三角形，折叠问题，解二元一次方程组，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行计算是解此题的关键．