题目内容
如图（1）至图（3），C为定线段AB外一动点，以AC、BC为边分别向外侧作正方形CADF和正方形CBEG，分别作DD1⊥AB、EE1⊥AB，垂足分别为D1、E1．当C的位置在直线AB的同侧变化过程中，
（1）如图（1），当∠ACB=90°，AC=4，BC=3时，求DD1+EE1的值；
（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；
（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．
（1）如图（1），当∠ACB=90°，AC=4，BC=3时，求DD1+EE1的值；
（2）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；
（3）求证：不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点．
（1）∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°，
∵四边形ACFD与BEGC是正方形，
∴∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ABC，∠EBE1=∠BAC，
∴△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，
∴
=
，
=
，
∴DD1=
，EE1=
；
∴DD1+EE1=5；
（2）过点C作CK⊥AB于K，
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠
EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
∴DD1=AK，EE1=BK，
∴DD1+EE1=AB，
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；
（3）设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，
则：MQ=
(DD1+EE1)=
AB且MQ⊥AB，
当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
又∵D1A=CK=E1B，
∴D1E1的中点就是AB的中点．
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，
∴此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为
AB长的点上”．
∴∠DD1A=∠EE1B=∠ACB=90°，
∵四边形ACFD与BEGC是正方形，
∴∠DAC=∠CBE=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAB+∠CBA=∠CBA+∠EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ABC，∠EBE1=∠BAC，
∴△DD1A∽△ACB，△EE1B∽△BCA，
∴
| DD1 |
| 4 |
| 4 |
| 5 |
| EE1 |
| 3 |
| 3 |
| 5 |
∴DD1=
| 16 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
∴DD1+EE1=5；
（2）过点C作CK⊥AB于K，
∵DD1⊥AB、EE1⊥AB，
∴∠DD1A=∠EE1B=∠AKC=∠BKC=90°，
∴∠DAD1+∠CAB=∠CAE+∠ACK=∠CBK+∠BCK=∠CBK+∠
EBE1=90°，
∴∠DAD1=∠ACK，∠EBE1=∠BCK，
∵AD=AC，BC=BE，
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
∴DD1=AK，EE1=BK，
∴DD1+EE1=AB，
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，DD1+EE1的值为定值；
（3）设M为DE的中点，Q为D1E1的中点，
则：MQ=
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当四边形DD1E1E为矩形时，以上结论仍然成立．
∴△ADD1≌△CAK，△EBE1≌△BCK，
又∵D1A=CK=E1B，
∴D1E1的中点就是AB的中点．
∴不论C的位置在直线AB的同侧怎样变化，线段DE的中点M为定点，
∴此定点M恒在“点C的同侧，与AB的中点Q距离为
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练习册系列答案
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予证明；若不成立，请说明理由．
