题目内容

如图，直线l1：y=-x+1与两直线l2：y=2x，l3：y=x分别相交于M、N两点．设点P为x轴上的一点，过点P的直线l：y=-x+b与直线l2、l3分别交于A、C两点，以线段AC为对角线作正方形ABCD．
（1）写出正方形ABCD各顶点的坐标（用b表示）；
（2）当点P从原点O出发，沿着x轴的正方向运动时，设正方形ABCD和△OMN重叠部分的面积为S，求S与b之间的函数关系式，并写出自变量b的取值范围．
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分析：（1）联立y=-x+b，y=2x求出点A，C的坐标．同理求出B，D的坐标．
（2）本题考查的是分段函数的有关知识．当D在l1上是b=
6
7
，B在l1上是b=
6
5
；然后根据实际分成0＜b≤
6
7
；
6
7
＜b＜1；b≥
6
5
时三种情况，S的面积都不同．
解答：解：（1）由
(2)y=-x+b
(3)y=2x(4)
，（5分）
得
(6)x=
1
3
b
(7)y=
2
3
b(8)
，（9分）
∴A(
1
3
b，
2
3
b)，
同理C(
1
2
b，
1
2
b)，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥DC∥y轴，AD∥BC∥x轴，
可得B(
1
3
b，
1
2
b)，D(
1
2
b，
2
3
b)；（4分）

（2）当D在l1（11）上时（如图1），b=
6
7
（12），
当B在l1（13）上时（如图2），b=
6
5
；（6分）
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当0＜b≤
6
7
时（如图1、3），直线l在直线l1上或下方，点D在直线l1上或下方，
∵正方形ABCD的边长AB=|
1
2
b-
2
3
b|=
1
6
b，
∴S=
1
36
b2；（8分）
当
6
7
＜b＜1时（如图4），直线l在直线l1下方，点D在直线l1上方，
设DC与直线l1交于点E，则E(
1
2
b，1-
1
2
b)DE=|1-
1
2
b-
2
3
b|=
7
6
b-1，
S=
1
36
b2-
1
2
(
7
6
b-1)2=-
47
72
b2+
7
6
b-
1
2
；（10分）
当1≤b＜
6
5
时，直线l在直线l1上或上方，且点B在l1下方，（如图5），若设AB与直线l1交于点F，则F(
1
3
b，1-
1
3
b)，BF=1-
5
6
b，
∴S=
1
2
(1-
5
6
b)2=
25
72
b2-
5
6
b+
1
2
；（12分）
当b≥
6
5
时，直线l在直线l1上方，且点B在l1上或上方（如图2），S=0．（14分）
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点评：本题考查的是一次函数的综合应用，重点是考查考生考虑问题的能力，要学会全面分析题目然后才得解．
练习册系列答案
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20、如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（a，3），则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为
x≥2
．
精英家教网如图，直线l1、l2交于点A，试求点A的坐标．
精英家教网如图，直线l1：y=2x+4与l2：y=-x-5在同一平面角坐标系中相交于点P，则点P的坐标是
 
．
如图，直线l1的解析表达式为y=
12
x+1，且l1与x轴交于点D，直线l2经过定点A，B，直线l1与精英家教网l2交于点C．
（1）求直线l2的函数关系式；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
如图，直线l1，l2交于点A，直线l2与x轴交于点B，与y轴交于点D，直线l1所对应的函数关系式为y=-2x+2．
（1）求点C的坐标及直线l2所对应的函数关系式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在直线l2上存在一点P，使得PB=PC，请直接写出点P的坐标．

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