教材在探索平方差公式时利用了面积法.面积法除了可以帮助我们记忆公式.还可以直观地推导或验证公式.俗称“无字证明 .例如.著名的赵爽弦图(如图①.其中四个直角三角形较大的直角边长都为a.较小的直角边长都为b.斜边长都为c).大正方形的面积可以表示为c2.也可以表示为4×$\frac{1}{2}ab+{(a-b)^2}$由此推导出重要的勾股定� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c²，也可以表示为4×$\frac{1}{2}ab+{（a-b）^2}$由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a²+b²=c²．

（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上的高CD的长为$\frac{12}{5}$cm．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a²+3ab+2b²，画在如图4的网格中，并标出字母a、b所表示的线段．

分析（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）已知两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高．
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．

解答解：（1）梯形ABCD的面积为$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$a²+ab+$\frac{1}{2}$b²，
也可利用表示为$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，
∴$\frac{1}{2}$a²+ab+$\frac{1}{2}$b²=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c²+$\frac{1}{2}$ab，即a²+b²=c²
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为$\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{1}{2}$×5×h，
∴h=$\frac{12}{5}$．
（3）∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a²+3ab+2b²，
∴边长为（a+2b）（a+b），
由此可画出的图形为：