Question

1．在平面直角坐标系中，点A（a，a），以点B（0，4）为圆心，半径为1的圆上有一点C，直线AC与⊙B相切，切点为C，则线段AC的最小值为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{7}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{7}$-1

Answer 1

分析 连结AB、BC，如图，由A点坐标易得点A在直线y=x上，作BH⊥直线y=x于H，则△BOH为等腰直角三角形，所以BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=2$\sqrt{2}$，再根据切线的性质得∠ACB=90°，则利用勾股定理得到AC=$\sqrt{A{B}^{2}-1}$，易得AB最小时，AC的值最小，利用垂线段最短得到AB的最小值为2$\sqrt{2}$，所以AC的最小值为$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{7}$．

解答 解：连结AB、BC，如图，
∵A点坐标为（a，a），
∴点A在直线y=x上，
作BH⊥直线y=x于H，
∵∠AOB=45°，
∴△BOH为等腰直角三角形，
∴BH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$OB=2$\sqrt{2}$，
∵直线AC与⊙B相切，切点为C，
∴BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{A{B}^{2}-1}$，
当AB最小时，AC的值最小，
而点A在H点时，AB最小，此时AB=BH=2$\sqrt{2}$，
∴AC的最小值为$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}-1}$=$\sqrt{7}$．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定AB的最小值．