Question

1．如图，正方形ABCD，AB=1，E是边BC延长线上的一点，CE=AC，连接AE，AE交CD于F．
（1）证明AE平分∠CAD．
（2）请探究AD+DF与CE的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 根据等边对等角的性质可得∠E=∠CAE，然后根据正方形的对角线平分一组对角以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠E=∠CAE=22.5°，再由∠DAC=45°即可得解；
（2）过F作FG⊥AC于G，根据角平分线的性质得到DF=GF，AD=AG，根据等腰直角三角形的性质得到GF=DF=CG，于是得到结论．

解答 解：（1）∵CE=AC，
∴∠E=∠CAE，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠ACB=45°，∠DAC=45°，
∴∠E+∠CAE=45°，
∴∠E=∠CAE=$\frac{1}{2}$×45°=22.5°，
∴∠DAF=∠DAC-∠CAE=45°-22.5°=22.5°，
∴AE平分∠CAD；
（2）AD+DF=CE，
理由：过F作FG⊥AC于G，
∵AF平分∠DAC，∠D=90°，
∴DF=GF，AD=AG，
∵∠GCF=45°，
∴GF=DF=CG，
∴AC=AG+CG=AD+DF=CE，
∴AD+DF=CE．

点评 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等边对等角，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．