Question

【题目】如图1，抛物线y=ax2+bx +3与x轴的交点为A和B，其中点A(-1，0)，且点D(2，3)在该抛物线上．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）点P是线段AB上的动点(点P不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ，DQ，记点P的横坐标为t．

①若时，求△面积的最大值；

②若△是以Q为直角顶点的直角三角形时，求所有满足条件的点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①当时，△ADQ面积最大为；②Q（，）或（，）．

【解析】

（1）把A(-1,0），D（2，3）代入解析式即可求解；

（2）①由P的横坐标为t， Q（t，）,求出直线AD的解析式为，设点C为直线PQ与直线AD的交点，求得点坐标为（），得到，利用，将△面积表示为关于t的二次函数，故可求解；

②△AQD是以Q为直角顶点的直角三角形时,∠AQD=90°，过点D作DK⊥PQ于点K，

证明△PQA∽△KDQ得到，代入得，解出t即可求解．

（1）解：将A(-1,0）和点D（2，3）代入得，

，

解得，

∴该抛物线的解析式为．

（2）①由P的横坐标为t，则P（t，0），Q（t，）．

设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0）

把A（-1，0），D（2，3）代入得

解得

∴直线AD的解析式为

如图：设点C为直线PQ与直线AD的交点

当时，

∴点坐标为（）

∴

∴

抛物线开口向下

∴当时，△ADQ面积最大为；

②△AQD是以Q为直角顶点的直角三角形时,∠AQD=90°，

过点D作DK⊥PQ于点K，

∴∠APQ=∠QKD=90°，

∵∠DQK+∠PQA=90°，

又∠DQK+∠KDQ=90°，

∴∠PQA=∠KDQ，

∴△PQA∽△KDQ

∴，

∴，

∴，

∵，（即Q不与A、D重合），

∴，整理得：，

解得，

经验证，、均符合题意，

其中：，符合图a的情况，，符合图b的情况．

当时，；当时，，

∴Q（，）或（，）．