Question

15．如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是$\widehat{EB}$的中点，则下列结论：①OC∥AE；②EC=BC；③∠DAE=∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由C为弧EB中点，利用垂径定理的逆定理得到OC垂直于BE，根据等弧对等弦得到BC=EC，再由AB为直角，利用圆周角定理得到AE垂直于BE，进而得到一对直角相等，利用同位角相等两直线平行得到OC与AE平行，由AD为圆的切线，利用切线的性质得到AB与DA垂直，利用同角的余角相等得到∠DAE=∠ABE，根据E不一定为弧AC中点，可得出AC与OE不一定垂直，即可确定出结论成立的序号．

解答 解：∵C为$\widehat{EB}$的中点，即$\widehat{BC}=\widehat{CE}$，
∴OC⊥BE，BC=EC，选项②正确；
∴∠BFO=90°，
∵AB为圆O的直径，
∴AE⊥BE，即∠BEA=90°，
∴∠BFO=∠BEA，
∴OC∥AE，选项①正确；
∵AD为圆的切线，
∴∠DAB=90°，即∠DAE+∠EAB=90°，
∵∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠DAE=∠ABE，选项③正确；
点E不一定为$\widehat{AC}$中点，故E不一定是$\widehat{AC}$中点，选项④错误，
则结论成立的是①②③，
故选C

点评 此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．