Question

如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．

（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：AC²=AD•AB；
（3）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．（10分）

Answer 1

（1）（2）略 （3）

解析试题分析：解：（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA。
∵∠DAC=∠BAC，∴∠OCA=∠DAC。∴OC∥AD。
∵AD⊥EF，∴OC⊥EF。
∵OC为半径，∴EF是⊙O的切线。
（2）证明：∵AB为⊙O直径，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°。
∵∠DAC=∠BAC，∴△ACB∽△ADC。
∴。∴AC²=AD•AB。
（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，∴∠OCA=60°.
∵OC=OA，∴△OAC是等边三角形。∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°。
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1。
由勾股定理得：DC=，
∴阴影部分的面积是S=S_梯形OCDA﹣S_扇形OCA=×（2+1）×﹣.
考点：圆的切线及勾股定理
点评：此种试题，主要考查学生对圆切线定理和勾股定理的灵活应用，同时还要结合三角形的各种性质和判定。