题目内容

规定，满足（1）各边互不相等且均为整数，（2）最短边上的高与最长边上的高的比值为整数k，这样的三角形称为比高三角形、其中k叫做比高系数．根据规定解答下列问题：
（1）周长为13的比高系数k=．
（2）写出一个只有4个比高系数的比高三角形的周长，周长为．
（3）比高△ABC三边与它的比高系数k之间满足BC-AC=AC-AB=k²，求△ABC的周长．

解：（1）根据定义和三角形的三边关系，知
此三角形的三边是2，5，6或3，4，6．则k=2或3．
（2）如周长为37的三角形，只有四个比高系数，当比高系数为2时，这个三角形三边分别为9、10、18，当比高系数为3时，这个三角形三边分别为6、13、18，当比高系数为6时，这个三角形三边分别为3、16、18，当比高系数为9时，这个三角形三边分别为2、17、18．
（3）∵a-b=b-c=k^2  ①，
∴a＞b＞c，且a=kc，
∴2b=a+c=kc+c，即b= $\text{[math]}$ （kc+c），
又b-c=k²，将b= $\text{[math]}$ （kc+c）代入并化简得2k²-kc+c=0 ②
方程②有整数根，所以△=c²-8c=0为完全平方数，
当△≠0时，设c²-8c=m²（m为正整数） ③
方程③有整数根，所以△=64+4m²为完全平方数，设64+4m²=n²（n为正整数）
∴（n+2m）（n-2m）=64
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （非正整数，舍去）
∴m=3，代入方程③解得c=9，代入方程②解得k=3
∴c=9，a=kc=27，b= $\text{[math]}$ （kc+c）=18
∵b+c=a，
∴不符合三角形三边关系，题目无解；
当△=0，即c=8或c=0（不合题意，舍去）时，
由方程②解得，k=2；
∴a=kc=2×8=16，即a=16；
∴b= $\text{[math]}$ （kc+c）=12；
又∵16-12＜8＜16+12，
16-8＜12＜16+8，
12-8＜16＜12+8，
∴a、b、c满足题意，
∴a+b+c=36；
故答案为（1）2或3；（2）25；（3）36．
分析：（1）根据定义结合三角形的三边关系“任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边”，进行分析；
（2）根据比高三角形的知识点结合三角形三边关系的知识点，进行判断周长固定的三角形只有四个比高系数，
（3）设BC=a，AC=b，AB=c，根据题干条件和比高三角形的知识，可得2k²-kc+c=0，然后解方程，根据方程有整数根，进一步解得a、b、c的值．并通过三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边验证．
点评：本题主要考查三角形三边关系的知识点，解答本题的关键是理解题干条件：比高三角形的概念，根据比高三角形的知识可以解答出前两问，第三问难度有点大，主要是利用方程的整数根的知识点进行解答，此题难度较大．