题目内容

香港的“公屋制度”，解决了30%以上，约200万人口的居住问题．内地对公租房建设也多有讨论，但尚未有一个城市真正的大规模尝试．重庆建设公共租赁住房，意在重点解决“夹心层”住房问题，力争城市保障性住房的“全覆盖”．经过认真调研，重庆市政府决定，计划10年内解决低收入人群的住房问题．在内地城市中首开了实施“公租房”制度，根据政府安排，前6年年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是 $数学公式$ ，（x单位：年，1≤x≤6且x为整数）；后4年，每年竣工投入使用的公租房面积y（单位：百万平方米），与时间x的关系是 $数学公式$ ，（x单位：年，7≤x≤10且x为整数）；由于部分已修公租房设施老化需要维修更新，经测算，需要投入更新设备的资金p（单位：百万元）与年分x的数量关系满足p=30x-34，假设每年的公租房全部出租完，另外，随着物价上涨等因素的影响，每年的租金也随之上调，预计，第x年投入使用的公租房的租金z（单位：元/㎡）与时间x（单位：年，1≤x≤10且x为整数）满足一次函数关系如下表：
z（元/㎡） 50 52 54 56 58 …
x（年） 1 2 3 4 5 …
（1）求出z与x的函数关系式；
（2）求政府在第几年投入的公租房所获利润最多，最多为多少百万元？
（3）若第6年竣工投入使用的公租房可解决20万人的住房问题，政府计划在第8年投入的公租房总面积不变的情况下，要让人均住房面积比第6年人均住房面积提高a%，这样可解决住房的人数将比第6年增加1.35a%，求a的值（结果保留整数）
（参考数据： $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ ）

解：（1）设z=kx+b，把（1，50）（2，52）代入函数解析式解得k=2，b=48，
所以z=48+2x；

（2）设第x年竣工并投入使用的公租房收取的租金为w百万元w=y•z-p，
当1≤x≤6时：w=（ $\text{[math]}$ ）（48+2x）-（30x-34）=- $\text{[math]}$ x²-28x+274，
对称轴为x=-42，在对称轴的右侧w随着x的增大而减小，因此当x=1时取得最大值，
x=1时，W_max= $\text{[math]}$ （百万元）；
当7≤x≤10时，w=（ $\text{[math]}$ ）（48+2x）-（30x-34）= $\text{[math]}$ x²-8x+274，
对称轴为x=8，在对称轴的左侧w随着x的增大而减小，在对称轴的右侧w随着x的增大而增大，因此当x=10时取得最大值，
x=10时，W_max=244（百万元）；
$\text{[math]}$ ＞244，
即当在第1年投入的公租房所获利润最多，最多 $\text{[math]}$ 百万元；

（3）第8年投入的公租房总面积为 $\text{[math]}$ ×8+5=7（百万平方米），
第6年投入的公租房总面积为- $\text{[math]}$ ×6+5=4（百万平方米），
4÷20×（1+a%）×20×（1+1.35a%）=7，
解得a%= $\text{[math]}$ ，
a%只能取 $\text{[math]}$ ≈0.28，
因此a=28．
分析：（1）由自变量x逐渐增大，而相对应的函数值z逐渐增大，且数据均匀增加，可以推测z是x的一次函数；
（2）利用公租房收取的租金=公租房租金z（元/m²）×投入使用的公租房面积y（百万平方米）列出二次函数，利用二次函数的性质求得最大值即可；
（3）利用第6年人均住房面积×（1+a%）×第6年解决的人数×（1+1.35a%）=第8年人均住房面积，列方程解决问题．
点评：此题主要考查待定系数法求一次函数，利用基本数量关系求二次函数解析式以及利用性质求最大值，并利用基本数量关系列方程解决实际问题，是一道综合性很强的题目．