Question

20．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{3}$，∠B=30°，直角三角板含30°角的顶点E在边 BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与CD交于点F．设BE=x，CF=y．
（1）点E在边BC上运动的过程中，图中是否有相似三角形，请证明；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）连接AF，点E在移动过程中，△AEF能否成为直角三角形？若能，请求出x的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意证明∠BAE=∠CEF，根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）根据相似三角形的对应边成比例得到比例式，代入x、y计算即可；
（3）分∠EAF=90°和∠EFA=90°根据相似三角形的性质解答．

解答 解：（1）△ABE∽△ECF，
∵∠BAE+∠BEA=150°，∠CEF+∠BEA=150°，
∴∠BAE=∠CEF，又∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECF；
（2）作AH⊥BC于H，
∵BC=4$\sqrt{3}$，AD=$\sqrt{3}$，
∴BH=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，又∠B=30°，
∴AB=3，
∵△ABE∽△ECF，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{BE}{CF}$，即$\frac{3}{4\sqrt{3}-x}$=$\frac{x}{y}$，
整理得，y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x（0≤x＜4$\sqrt{3}$）；
（3）当∠EAF=90°时，
∵∠AEF=30°，
∴$\frac{AE}{EF}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{AB}{EC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{3}{4\sqrt{3}-x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得，x=2$\sqrt{3}$；
当∠EFA=90°时，
∵∠AEF=30°，
∴$\frac{EF}{AE}$=cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{EC}{AB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$\frac{4\sqrt{3}-x}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得x=$\frac{5}{2}$$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的知识的综合运用，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．