Question

1．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴相交于点M（3，0），与y轴相交于点N（0，-1），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过线段MN的中点A．
（1）求直线l和反比例函数的解析式；
（2）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上取不同于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P，若△ONP的面积是△OBC的面积的3倍，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据点M、N的坐标利用待定系数法即可求出直线l的解析式，根据点A为线段MN的中点即可得出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数系数k的几何意义即可求出S_△OBC的面积，设点P的坐标为（a，$\frac{1}{3}$a-1）（0＜a＜3），根据三角形的面积公式结合S_△ONP的面积即可求出a值，进而即可得出点P的坐标．

解答 解：（1）设直线l的解析式为y=mx+n（m≠0），
将（3，0）、（0，-1）代入y=mx+n，
$\left\{\begin{array}{l}{3m+n=0}\\{n=-1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{3}}\\{n=-1}\end{array}\right.$，
∴直线l的解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1．
∵点A为线段MN的中点，
∴点A的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
将A（$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{k}{x}$，
$\frac{k}{\frac{3}{2}}$=-$\frac{1}{2}$，解得：k=-$\frac{3}{4}$，
∴反比例函数解析式为y=-$\frac{3}{4x}$．
（2）∵S_△OBC=$\frac{1}{2}$|k|=$\frac{3}{8}$，
∴S_△ONP=3S_△OBC=$\frac{9}{8}$．
∵点N（0，-1），
∴ON=1．
设点P的坐标为（a，$\frac{1}{3}$a-1）（0＜a＜3），
∴S_△ONP=$\frac{1}{2}$ON•a=$\frac{1}{2}$a=$\frac{9}{8}$，
∴a=$\frac{9}{16}$，$\frac{1}{3}$a-1=-$\frac{13}{16}$，
∴点P的坐标为（$\frac{9}{16}$，-$\frac{13}{16}$）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．