题目内容

如图，点P在函数y= $数学公式$ （x＞0）的图象上运动，O为坐标原点，点A为PO的中点，以点P为圆心，PA为半径作⊙P，当⊙P与坐标轴相切时，则点P的坐标为________．

（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）
分析：设点P（a，b），当圆P与x轴相切时，切点为C，根据点A为PO的中点，∠PEO=90°，可得a²+b²=4b²，由点P在函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，得ab=2 $\text{[math]}$ ，求出a和b的值，同理求出圆P与y轴相切时，同理可得P点坐标．
解答：设点P（a，b），
当圆P与x轴相切时，切点为C，
∵点A为PO的中点，∠PEO=90°，
∴OP=2PE，
∴a²+b²=4b²，
∵点P在函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，
∴ab=2 $\text{[math]}$ ，
解得a= $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，
此时P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
当圆P与y轴相切时，同理可得P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
综上所述，满足条件的P点坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
故答案为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，解答此题需要分类讨论，此题难度不大，但是容易出现错误，希望同学们解答的时候注意．