题目内容

如图，在平面直角坐标系xOy中，梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，C∥OB，BC⊥OB，过点A的双曲线 $数学公式$ 的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D，交边BC于点E．若点C的坐标为（2，2），当阴影部分面积S最小时，则点E的坐标为________．

（2，1）
分析：根据梯形的性质，AC∥x轴，BC⊥x轴，而点C的坐标为（2，2），则A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），再分别把y=2或x=2代入y= $\text{[math]}$ 可得到A点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，2），E点的坐标为（2， $\text{[math]}$ ），然后计算S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE，配方得 $\text{[math]}$ （k-2）²+ $\text{[math]}$ ，当k=2时，S_阴影部分最小值为 $\text{[math]}$ ，则E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点．
解答：∵梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上，AC∥OB，BC⊥OB，
而点C的坐标为（2，2），
∴A点的纵坐标为2，E点的横坐标为2，B点坐标为（2，0），
把y=2代入y= $\text{[math]}$ 得x= $\text{[math]}$ ；把x=2代入y= $\text{[math]}$ 得y= $\text{[math]}$ ，
∴A点的坐标为（ $\text{[math]}$ ，2），E点的坐标为（2， $\text{[math]}$ ），
∴S_阴影部分=S_△ACE+S_△OBE
= $\text{[math]}$ ×（2- $\text{[math]}$ ）×（2- $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ×2× $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ k²- $\text{[math]}$ k+2
= $\text{[math]}$ （k-2）²+ $\text{[math]}$ ．
当k-2=0，即k=2时，S_阴影部分最小，最小值为 $\text{[math]}$ ；
∴E点的坐标为（2，1），即E点为BC的中点，
∴当点E在BC的中点时，阴影部分的面积S最小；
故答案为：（2，1）．
点评：本题考查了反比例函数综合题以及二次函数最值问题等知识，根据已知表示出图形面积是解题关键．