题目内容
（2012•房山区一模）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直作下去，得到了一组线段CA1，A1C1，C1A2，A2C2，…，AnCn，则A1C1=6•(
)2
| 4 |
| 5 |
6•(
)2
，AnCn=| 4 |
| 5 |
6•(
)2n
| 4 |
| 5 |
6•(
)2n
．| 4 |
| 5 |
分析：首先由Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，利用勾股定理即可求得AB的长，易证得△CA1B∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得A1C的值，同理可求得：A1C1，A2C1，A2C2的值，则可得规律：AnCn=6×（
）2n．
| 4 |
| 5 |
解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=
=10，
∵CA1⊥AB，
∴∠CA1B=∠ACB=90°，
∵∠B是公共角，
∴△CA1B∽△ACB，
∴
=
，
即
=
，
即A1C=
AC=6×
，
同理可得：A1C1=
A1C=6×（
）2=6×（
）2×1，
A2C1=
A1C1=6×（
）3，
A2C2=
A2C1=6×（
）4=6×（
）2×2，
可得规律为：AnCn=6×（
）2n．
故答案为：6×（
）2，6×（
）2n．
∴AB=
| AC2+BC2 |
∵CA1⊥AB，
∴∠CA1B=∠ACB=90°，
∵∠B是公共角，
∴△CA1B∽△ACB，
∴
| A1C |
| AC |
| BC |
| AB |
即
| A1C |
| 6 |
| 8 |
| 10 |
即A1C=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
同理可得：A1C1=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
A2C1=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
A2C2=
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
可得规律为：AnCn=6×（
| 4 |
| 5 |
故答案为：6×（
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题属于规律性题目，难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
练习册系列答案
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（2012•房山区一模）如图，点F在线段AB上，AD∥BC，AC交DF于点E，∠BAC=∠ADF，AE=BC．