Question

11．如图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图形1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为：1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

（1）当n=15时，我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…．，则最底层最左边这个圆圈中的数是多少？当有n层时，最底层最左边这个圆圈中的数又是多少？（只列代数式不要求化简）
（2）当n=19时，我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数-25，-24，-23，…则这时最底层最左边这个圆圈中的数是多少？并求出此时所有圆圈中各数的绝对值之和．

Answer 1

分析 （1）根据图形中圆圈的个数变化规律得出答案即可；
（2）19层时最底层最左边这个圆圈中的数是第18层的最后一个数加1；首先计算圆圈的个数，从而分析出25个负数后，又有多少个正数．

解答 解：（1）当n=15时，图中共有：1+2+3+…+15=120个圆圈；
最底层最左边这个圆圈中的数是14×15×$\frac{1}{2}$+1=106；
（2）图4中所有圆圈中共有1+2+3+…+19=$\frac{19×（19+1）}{2}$=190个数，其中25个负数，1个0，164个正数，
∴最底层最左边这个圆圈中的数是18×19×$\frac{1}{2}$+1=172，
所以图4中所有圆圈中各数的绝对值之和=|-25|+|-24|+…+|-1|+0+1+2+…+164=（1+2+3+…+25）+（1+2+3+…+164）=325+13530=13855．

点评 此题主要考查了图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$．