题目内容

如图，O是∠ABC的边BA上一点，以O为圆心的圆与角的另一边BC相切于点D，交BO于点E，F是OA上一点，过F作FG⊥AB，交BC于点G，BD=2 $数学公式$ ，sin∠ABC= $数学公式$ ，设OF=x，四边形EDGF的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）在直角平面坐标系内画出这个函数的大致图象；
（3）这个函数的图象与经过点（1， $数学公式$ ）的正比例函数的图象有无交点？若有交点，求出交点坐标；若无交点，试说明理由．

解：（1）连接OD，则OD⊥BC，
∴△BOD是直角三角形，由sin∠ABC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，设OD=m，则OB=2m，
在Rt△OBD中，BO²=BD²+OD²；即（2m）²=（2 $\text{[math]}$ ）²+m²，
∴OD=m=2，OB=2m=4，
∴BE=OB-OE=OB-OD=4-2=2，BF=OB+OF=4+x．
作EH⊥BD垂足为H，则∠BHE=∠BDO=90°，
∴EH∥OD，
∵BE=OE，BH=HD，
∴EH= $\text{[math]}$ OD．
又∵S_△OBD= $\text{[math]}$ BD•OD= $\text{[math]}$ ×2 $\text{[math]}$ ×2=2 $\text{[math]}$ ，
∴S_△BED= $\text{[math]}$ S_△OBD= $\text{[math]}$ ，
∵GF⊥AB，∴∠BDO=∠BFG=90°，
又∵∠DBO=∠FBG，
∴△OBD∽△GBF，
$\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
∴S_△GBF= $\text{[math]}$ （4+x）²- $\text{[math]}$
即y= $\text{[math]}$ （4+x）²- $\text{[math]}$ ．

（2）所求函数的大致图象如图所示．

（3）设正比例函数为y=kx
∵这个正比例函数的图象经过点（1， $\text{[math]}$ ）．
∴ $\text{[math]}$ =k×1，
∴k= $\text{[math]}$
∴这个正比例函数是y= $\text{[math]}$ x．
解方程组 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ ，
∴这个正比例函数与（1）中函数的图象有两个交点，
其坐标分别为（-2， $\text{[math]}$ ）、（-5，- $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）连接OD，则由切线性质可得OD⊥BC，作EH⊥BD垂足为H，由sin∠ABC= $\text{[math]}$ ，可知∠ABC=30°，图形中就有三个30°的直角三角形，分别是△BEH、△BOD和△BGF，先解△BOD，由BD=2 $\text{[math]}$ ，可求OD、OB、BE，再解△BEH，可求EH及△BED的面积，由于OF=x，则BF可表示出来，解Rt△BGF，可表示FG及△BGF的面积，用S_{四边形EDGF}=S_△BGF-S_△BDE即可；
（2）画图象时，要注意抛物线对称轴，顶点坐标，与坐标轴的交点及自变量的取值范围；
（3）由点（1， $\text{[math]}$ ）可得正比例函数关系式，与二次函数解析式联立，解方程组即可．
点评：本题考查了解直角三角形，三角形面积的表示方法，求二次函数解析式及其图象，二次函数图象与一次函数图象的交点等综合运用问题，在表示不规则四边形面积时，要学会作差法．