Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的顶点坐标为C（-4，

3

），且在x轴上截得的线段AB的长为6．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在y轴上确定一点M，使MA+MC的值最小，求出点M的坐标；
（3）在x轴下方的抛物线上，是否存在点N，使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据顶点坐标可得出抛物线的对称轴，结合AB=6，可得出点A及点B的坐标，设处抛物线的顶点式，代入点A的坐标即可得出抛物线的解析式；
（2）作点A关于y轴的对称点A'，可得 A'（1.0），连接A'C交y轴于一点即点M，此时MC+MA的值最小，求出直线A'C的解析式，继而可确定点M的坐标．
（3）首先判断出△ABC是等腰三角形，且顶角为120°，然后讨论，①AB=AN₁，②AB=BN₂，③N₃A=N₃B，依次求出点N的坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点坐标为C（-4，

3

），
∴抛物线的对称轴为直线x=-4．
∵抛物线在x轴上截得的线段AB的长为6，
∴A（-1，0 ），B（-7，0  ），
设抛物线解析式为y=a（x+4）²+

3

，
代入点A坐标可得：0=a（-1+4）²+

3

，
解得：a=-

3

9

，
故二次函数的解析式为：y=-

3

9

（x+4）²+

3

．

（2）作点A关于y轴的对称点A'，可得 A'（1.0），
连接A'C交y轴于一点即点M，此时MC+MA的值最小，
设直线CA'的解析式为y=kx+b（k≠0），
代入点A'、点C的坐标可得：

3 =-4k+b 0=k+b.

解得：

k=- 3 5 b= 3 5

，
则直线CA'的解析式为y=-

3

5

x+

3

5

，
故点M的坐标为（ 0，

3

5

）．

（3）由（1）可知，C（-4，

3

），设对称轴交x轴于点D，则AD=3．
在Rt△ADC中，∵tan∠CAD=

CD

AD

=

3

3

，
∴∠CAD=30°，
∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB=30°．
∴∠ACB=120°，
①如果AB=AN₁=6，过N₁作E N₁⊥x轴于E，
由△ABC∽△BA N₁得∠BA N₁=120°，
则∠EA N₁=60°．
∴N₁E=3

3

，AE=3．
∵A（-1，0 ），
∴OE=2．
∵点N在x轴下方，
∴点N₁（2，-3

3

），
②如果AB=BN₂，由对称性可知N₂（-10，-3

3

），
③如果N₃A=N₃B，那么点N必在线段AB的中垂线即抛物线的对称轴上，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点N．
经检验，点N₁ （2，-3

3

）与N₂ （-10，-3

3

）都在抛物线上．
综上所述，存在这样的点N，使△NAB∽△ABC，点N的坐标为（2，-3

3

）或（-10，-3

3

）．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及相似三角形的判定，综合考察的知识点较多，像此类综合题，要求同学们一步一步的来，找准突破口，将所学的知识融会贯通．