Question

如图所示，一个半径为

2

的圆过一个半径为2的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是多少？

Answer 1

分析：如图，连OA，OB，OC，由OA=2，CA=CB=

2

，即2²=（

2

）²+（

2

）²，得到△OCA为直角三角形，则∠AOC=45°，同理可得∠BOC=45°，得到AB为⊙C的直径．所以S_阴影部分=S_半圆AB-S_弓形AB=S_半圆AB-（S_扇形OAB-S_△OAB），然后根据圆、扇形和三角形的面积公式进行计算即可得到阴影部分的面积．

解答：解：如图，
⊙O的半径为2，⊙C的半径为

2

，点O在⊙C上，连OA，OB，OC，
∵OA=2，CA=CB=

2

，即2²=（

2

）²+（

2

）²，
∴OA²=CA²+CB²，
∴△OCA为直角三角形，
∴∠AOC=45°，
同理可得∠BOC=45°，
∴∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径．
∴S_阴影部分=S_半圆AB-S_弓形AB=S_半圆AB-（S_扇形OAB-S_△OAB）=

1

2

π×（

2

）²-

90π×22

360

+

1

2

×2×2=2．

点评：本题考查了扇形的面积公式：S=

nπR2

360

，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=

1

2

lR，l为扇形的弧长，R为半径．也考查了勾股定理以及90度的圆周角所对的弦为直径．