题目内容
【题目】如图1，
与
都是等腰直角三角形，直角边
，
在同一条直线上，点
、
分别是斜边
、
的中点，点
为
的中点，连接
，
，
，
，
．
（1）观察猜想：
图1中，与的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探究证明：
将图1中的绕着点
顺时针旋转
（
），得到图2，与
、分别交于点
、
，请判断（1）中的结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸：
把绕点任意旋转，若
，
，请直接列式求出
面积的最大值．
【答案】（1）
，
；（2）结论仍成立，证明见解析；（3）
的面积的最大值
【解析】
（1）延长AE交BD于点H，易证
，得
，
，进而得
，结合中位线的性质，得
，
，
，
，进而得，；
（2）设
交
于
，易证，得，，进而得
，结合中位线的性质，得，，，，进而得，；
（3）易证是等腰直角三角形，，当
、
、
共线时，
的值最大，进而即可求解．
（1）如图1，延长AE交BD于点H，
∵
和
是等腰直角三角形，
∴
，
，
，
∴
，
∴
，
∴（SAS），
∴，，
又∵
，
∴
，
∵点
、
、
分别为
、
、
的中点，
∴，，，，
∴，
∴PM⊥AH，
∴．
故答案是：，；
（2）（1）中的结论仍成立，理由如下：
如图②中，设交于，
∵和是等腰直角三角形，
∴，，
，
∴，
∴，
∴（SAS），
∴，
又∵
，
∴
，
∵点、、分别为、、的中点，
∴，，，，
∴，
∴
，
∴
，
∴
，
∴；
（3）由（2）可知是等腰直角三角形，，
∴当的值最大时，
的值最大，的面积最大，
∴当、、共线时，的最大值
，
∴
，
∴的面积的最大值
．
【题目】某校要从甲、乙两名同学中挑选一人参加创新能力大赛，在最近的五次选拔测试中， 他俩的成绩分别如下表，请根据表中数据解答下列问题：
第 1 次 | 第 2 次 | 第 3 次 | 第 4 次 | 第 5 次 | 平均分 | 众数 | 中位数 | 方差 | |
甲 | 60 分 | 75 分 | 100 分 | 90 分 | 75 分 | 80 分 | 75 分 | 75 分 | 190 |
乙 | 70 分 | 90 分 | 100 分 | 80 分 | 80 分 | 80 分 | 80 分 |
（1）把表格补充完整：
（2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是多少；若将 80 分以上（含 80 分） 的成绩视为优秀，则甲、乙两名同学在这五次测试中的优秀率分别是多少；
（3）历届比赛表明，成绩达到80分以上（含 80分）就很可能获奖，成绩达到 90分以上（含90分）就很可能获得一等奖，那么你认为选谁参加比赛比较合适？说明你的理由．
