Question

如图，P是△ABC中的∠BAC的外角平分线上一点．
（1）求证：PB+PC＞AB+AC；
（2）若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC＞AB，画出图形，试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,三角形三边关系

专题：计算题

分析：（1）在BA延长线上截取AD=AC，连接DP，由AP平分∠DAC，得到一对角相等，利用SAS得到△ADP≌△ACP，利用全等三角形对应边相等得到PC=PD，在三角形BPD中，根据三边关系得到PB+PD＞BD，等量代换即可得证；
（2）根据题意画出图形，在AC上截取AE=AB，连接PE，由AP平分∠BAC，得到一对角相等，利用SAS得到△ABP≌△AEP，利用全等三角形对应边相等得到BP=EP，在三角形PEC中，利用三角形三边关系得到PE+PC＞EC，等量代换即可得证．

解答：（1）证明：在BA延长线上截取AD=AC，连接DP，
∵AP平分∠DAC，
∴∠DAP=∠CAP，
在△ADP和△ACP中，

AD=AC ∠DAP=∠CAP AP=AP

，
∴△ADP≌△ACP（SAS），
∴PC=PD，
在△BPD中，PB+PD＞BD=AB+AD，
∴PB+PC＞AB+AC；
（2）解：如图所示：在AC上截取AE=AB，连接PE，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP=∠EAP，
在△ABP和△AEP中，

AB=AE ∠BAP=∠EAP AP=AP

，
∴△ABP≌△AEP（SAS），
∴BP=EP，
在△PEC中，PE+PC＞EC，即PB+PC＞EC=AC-AE=AC-AB．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．