Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，E为CD上一点，且AE=AB，M为AE的中点．
求证：
（1）DM=DA；
（2）EB平分∠AEC； 
（3）BE²=2AE•EC．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质得∠ADE=90°，AD=BC，利用AB=2BC，AE=AB可得到AE=2AD，所以∠AED=30°，根据直角三角形斜边上的中线性质由M为AE的中点得到DM=AM，可判断△ADM为等边三角形，于是DM=DA；
（2）由AB=AE得∠AEB=∠ABE，由DC∥AB得∠ABE=∠BEC，所以∠AEB=∠BEC；
（3）作AH⊥BE，EH=

1

2

BE，易证Rt△AEH∽Rt△BEC，根据相似的性质得BE•EH=AE•EC，于是把EH=

1

2

BE代入即可得到结论．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE=90°，AD=BC，
∵AB=2BC，AE=AB，
∴AE=2AD，
∴∠AED=30°，
∴∠DAE=60°，
又∵M为AE的中点，
∴DM=AM，
∴△ADM为等边三角形，
∴DM=DA；

（2）∵AB=AE，
∴∠AEB=∠ABE，
∵DC∥AB，
∴∠ABE=∠BEC，
∴∠AEB=∠BEC，
∴EB平分∠AEC；

（3）作AH⊥BE，如图，
∵AB=AE，
∴EH=

1

2

BE，
∵∠AEB=∠BEC，
∴Rt△AEH∽Rt△BEC，
∴

AE

BE

=

EH

EC

，
∴BE•EH=AE•EC，
∴BE•

1

2

BE=AE•EC，
∴BE²=2AE•EC．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形对应边的比等于相等，都等于相似比．也考查了矩形的性质和等腰三角形的性质．