Question

6．如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：△AEF∽△ABD；
（2）填空：
①若BC=8，AC=5，则EF=1.5；
②若四边形BDFE的面积为6，则△ABD的面积为8．

Answer 1

分析 （1）首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，进而可证明△AEF∽△ABD；
（2）①因为EF是△ABD的中位线，所以BD=2EF，求出BD的长即可得到EF的长；②根据（1）证得的平行可以判定△AEF∽ABD，然后利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求的△ABD的面积．

解答 17．（1）证明：
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF=∠BCF，
又∵DC=AC，
∴CF是△ACD的中线，
∴点F是AD的中点，
又∵E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD；
（2）①∵EF是△ABD的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD，
∵BC=8，AC=5，DC=AC，
∴BD=BC-CD=3，
∴EF=1.5，
故答案为1.5；
②∵△AEF∽△ABD，
∴S_△AEF：S_△ABD=1：4，
∴S_△AEF：S_{四边形BDFE}=1：3，
∵四边形BDFE的面积为6，
∴S_△AEF=2，
∴S_△ABD=S_△AEF+S_{四边形BDFE}=2+6=8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键在于求证EF为中位线，S_△AEF：S_△ABD=1：4．