Question

19．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0）．点P从A点出发，以每秒1个单位的速度沿AO运动；同时，点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动．
（1）求运动时间t的取值范围；
（2）t为何值时，△POQ的面积最大？最大值是多少？
（3）t为何值时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）由点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，可得：2t=8，解得：t=4，进而可得：0≤t≤4；
（2）先根据三角形的面积公式，用含有t的式子表示△POQ的面积=-t²+6t，然后根据二次函数的最值公式解答即可；
（3）分两种情况讨论：①Rt△POQ∽Rt△AOB；②Rt△QOP∽Rt△AOB，然后根据相似三角形对应边成比例，即可求出相应的t的值．

解答 解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），
∴OA=6，OB=8，
∵点Q从O出发，以每秒2个单位的速度沿OB运动，当Q点到达B点时，P、Q两点同时停止运动，
∴2t=8，
解得：t=4，
∴0≤t≤4；
（2）根据题意得：经过t秒后，AP=t，OQ=2t，
∴OP=OA-AP=6-t，
∵△POQ的面积=$\frac{1}{2}$•OP•OQ，
即△POQ的面积=$\frac{1}{2}×$（6-t）×2t=-t²+6t．
∵a=-1＜0，
∴△POQ的面积有最大值，
当t=-$\frac{b}{2a}$=3时，△POQ的面积的最大值=$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=9，
即当t=3时，△POQ的面积最大，最大值是9．
（3）①若Rt△POQ∽Rt△AOB时，
∵Rt△POQ∽Rt△AOB，
∴$\frac{PO}{AO}=\frac{OQ}{OB}$，
即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{2t}{8}$，
解得：t=$\frac{12}{5}$；
②若Rt△QOP∽Rt△AOB时，
∵Rt△QOP∽Rt△AOB，
∴$\frac{OQ}{AO}=\frac{OP}{OB}$，
即$\frac{2t}{6}=\frac{6-t}{8}$，
解得：t=$\frac{18}{11}$．
所以当t为$\frac{12}{5}$或$\frac{18}{11}$时，以点P、0、Q为顶点的三角形与Rt△AOB相似．

点评 此题是一次函数的综合题型，主要考查了三角形的面积，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质，第（3）问的解题的关键是：分两种情况讨论：①Rt△POQ∽Rt△AOB；②Rt△QOP∽Rt△AOB．