Question

4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+5的图象与y轴的交点为点A，与正比例函数y=$\frac{4}{3}$x的图象交于点P．
（1）若P点坐标为（6，a）．
（ⅰ）求出a和k的值；
（ⅱ）求△OAP的面积．
（2）若△APO为等腰三角形，请直接写出所有P点的坐标．

Answer 1

分析 （1）（ⅰ）先把P（6，a）代入y=$\frac{4}{3}$x可求出a=8，然后把P（6，8）代入y=kx+5可计算出k的值；
（ⅱ）先求出A点坐标，然后根据三角形面积公式求解；
（2）设P（t，$\frac{4}{3}$t），OA=5，分类讨论：当PA=PO时，则$\frac{4}{3}$t=$\frac{5}{2}$；当AP=AO，则t²+（$\frac{4}{3}$t-5）²=5²；当OP=OA，则t²+（$\frac{4}{3}$t）²=5²；然后分别解方程求出t的值，从而得到P点坐标．

解答 解：（1）（ⅰ）把P（6，a）代入y=$\frac{4}{3}$x得a=$\frac{4}{3}$×6=8，
把P（6，8）代入y=kx+5得8=6k+5，解得k=$\frac{1}{2}$；
（ⅱ）当x=0时，y=$\frac{1}{2}$x+5=5，则A（0，5），
所以S_△OAP=$\frac{1}{2}$×5×6=15；
（2）设P（t，$\frac{4}{3}$t），OA=5，
当PA=PO时，点P的纵坐标为$\frac{5}{2}$，即$\frac{4}{3}$t=$\frac{5}{2}$，即得t=$\frac{15}{8}$，此时P点坐标为（$\frac{15}{8}$，$\frac{5}{2}$）；
当AP=AO，则t²+（$\frac{4}{3}$t-5）²=5²，解得t₁=0（舍去），t₂=$\frac{24}{5}$，此时P点坐标为（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）；
当OP=OA，则t²+（$\frac{4}{3}$t）²=5²，解得t₁=3，t₂=-3，此时P点坐标为（3，4）或（-3，-4），
综上所述，P点坐标为（3，4）或（-3，-4）或（$\frac{24}{5}$，$\frac{32}{5}$）或（$\frac{15}{8}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了两条直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．也考查了等腰三角形的性质和分类讨论的思想的应用．