Question

【题目】正方形的边长为1，点是边上的一个动点（与，不重合），以为顶点在所在直线的上方作

（1）当经过点时，

①请直接填空：________（可能，不可能）过点：（图1仅供分析）

②如图2，在上截取，过点作垂直于直线，垂足为点，作于，求证：四边形为正方形；

③如图2，将②中的已知与结论互换，即在上取点（点在正方形外部），过点作垂直于直线，垂足为点，作于，若四边形为正方形，那么与是否相等？请说明理由；

（2）当点在射线上且不过点时，设交边于，且．在上存在点，过点作垂直于直线，垂足为点，使得，连接，则当为何值时，四边形的面积最大？最大面积为多少？

Answer 1

【答案】（1）①不可能　 ②详见解析处 ③结论：OA＝OE，理由：详见解析处 （2）当BO为时，四边形PKBG的面积最大，最大值．

【解析】

（1）①若ON过点D，则在△OAD中不能满足勾股定理，据此可知ON不可能过点D；

②由条件可判断出四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可得结论；

③结论：OA＝OE，如图2-1中，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ＝BO，连接OQ，证明△AQO≌△OCE即可．

（2）根据条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可得OP＝1，可得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△OGB的面积有最大值时，四边形PKBG的面积也最大，设OB＝a，BG＝b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△OBG的面积，利用二次函数的性质即可求得其最大值，继而可求得四边形PKBG的面积最大值．

解：（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，

∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，

∴OA2 ＋OD2＞2AD2≠AD2，

∴∠AOD≠90°，这与∠MON＝90°矛盾，

∴ON不可能过点D，

故答案为：不可能；

②如图2中，

∵EH⊥CD，EF⊥BC，

∴∠EHC＝∠EFC＝90°且∠HCF＝90°，

∴四边形EFCH为矩形，

∵∠MON＝90°，

∴∠EOF＝90°－∠AOB，

在正方形ABCD中，

∠BAO＝90°－∠AOB，

∴∠EOF＝∠BAO，

在△OFE和△ABO中， ，

∴△OFE≌△ABO（AAS）

∴EF＝OB，OF＝AB，

又∵OF＝CF＋OC＝AB＝BC＝BO＋OC＝EF＋OC，

∴CF＝EF，

∴四边形EFCH为正方形；

③结论：OA＝OE

理由：如图2-1所示，连接EC，在BA上取一点Q，使得BQ＝BO，连接OQ．

∵AB＝BC，BQ＝BO，

∴AQ＝OC

∵∠QAO＝∠EOC，∠AQO＝∠ECO＝135°,

∴△AQO＝△OCE（ASA）

∴OA＝EO

（2）

∵∠POK＝∠OGB，∠PKO＝∠OBG，

∴△PKO∽△OBG，

∵S△PKO＝S△OBG，

∴，

∴OP＝1，

∴S△POG＝·OG·OP＝/span>×1×2＝1，

设OB＝a，BG＝b，则a2＋b2＝OG2＝4，

∴b＝，

∴S△OBG＝ab＝a＝＝，

∴当a2＝2时，S△OBG有最大值1，此时S△PKO＝S△OBG＝，

∴四边形PKBG的最大面积为1+1+＝

∴当BO为时，四边形PKBG的面积最大，最大值．