Question

【题目】在平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣2ax﹣4a（x≥0）的图象记为M1，函数y＝﹣ax2﹣2ax+4a（x＜0）的图象记为M2，其中a为常数，且a≠0，图象M1，M2合起来得到的图象记为M．

（1）当图象M1的最低点到x轴距离为3时，求a的值．

（2）当a＝1时，若点（m，）在图象M上，求m的值，

（3）点P、Q的坐标分别为（﹣5，﹣1），（4，﹣1），连结PQ．直接写出线段PQ与图象M恰有3个交点时a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）或a=.

【解析】

（1）因为提到“最低点”，所以函数图象M1对应的抛物线开口向上，a＞0，令顶点纵坐标＝3即求出a的值．

（2）把点在图象M1或图象M2进行分类讨论，把a＝1和y＝代入解析式即求出m的值．

（3）把a＞0时图象M的大致草图画出，根据图象观察和计算说明线段PQ所在位置对交点个数的影响，得到a的范围，同理可计算a＜0时的情况．

解：（1）∵y＝ax22ax4a＝a（x1）25a，且图象M1的最低点到x轴距离为3

∴a＞0，

∴|5a|＝3，即5a＝3

∴a＝；

（2）当a＝1时，点（m，）在图象M上，

①若点在图象M1上，即m≥0，m22m4＝，

解得：m1＝，m2＝（舍去）；

②若点在图象M2上，即m＜0，m22m＋4＝，

解得：m3＝（舍去），m4＝，

综上所述，m的值为或；

（3）若a＞0，则图象M的大致形状如图1，

若线段PQ经过图象M1的顶点（1，5a）

则5a＝1，得a＝，

对于图象M2，时，

解得：(舍去)，，

∵，

∴直线PQ与图象M2的交点在点P的右侧

∴线段PQ与图象M2有一个交点，与M有两个交点，

而M1与y轴的交点为（0，-4a），

∴当5a＜-1≤-4a时，线段PQ与图象M有三个交点，

解得：；

同理当a＜0时，

同理可得,而当a=即上图情况是，线段PQ的交点恰好为Q点，此时有三个交点，而时，图像线段PQ的交点只有个，右侧没有交点，所以a=,

故线段PQ与图象M恰有3个交点时a的取值范围是：或a=.