Question

【题目】如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：

①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（ ）

A.①④B.②④C.①③D.②③

Answer 1

【答案】D

【解析】

①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；

②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；

③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；

④作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．

解：①∵线段在边上运动，，

∴,

∴与不可能相等，

则①错误；

②设，

∵，，

∴，即，

假设与相似，

∵∠A=∠B=60°，

∴，即，

从而得到，解得或（经检验是原方程的根），

又，

∴解得的或符合题意，

即与可能相似，

则②正确；

③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，

设，

由，，得，即，

∴，

∵∠B=60°，

∴，

∵，∠A =60°，

∴,

则，

，

∴四边形面积为：,

又∵，

∴当时，四边形面积最大，最大值为：，

即四边形面积最大值为，

则③正确；

④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，

此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，

∴D1Q′=DQ′=D2 P′，，

且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，

∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，

在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，

∴，

在Rt△AD2C中，

由勾股定理可得，，

∴四边形P′CDQ′的周长为：

，

则④错误，

所以可得②③正确，

故选：D．