Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E是CD边上一点，DE＝2，过B作AE的垂线，垂足为点F，BF＝3，将△ADE沿AE翻折，得到△AGE，AG与BF于点M，连接BG，则△BMG的周长为______

Answer 1

【答案】

【解析】

延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H．首先证明AK＝DE＝2，再利用相似三角形的性质求出FK，再证明∠ABK＝30°，把问题特殊化后即可解决问题．

如图，延长BF交AD于K，作BH⊥AG于H．

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝AD，∠BAK＝∠ADE＝90°，

∵BF⊥AE，

∴∠AFB＝90°，

∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠BAF+∠DAE＝90°，

∴∠ABK＝∠DAE，

∴△ABK≌△ADE（ASA），

∴AK＝DE＝2，

∵∠AKF＝∠AKB，∠AFK＝∠KAB＝90°，

∴△AKF∽△BKA，

∴＝，设KF＝x，

则有＝，

整理得，

解得x＝1或﹣4（舍弃），

∴BK＝BF+FK＝3+1＝4，

∵sin∠ABK＝＝＝，

∴∠ABK＝30°，

∴∠DAE＝∠ABK＝∠EAG＝∠BAG＝30°，

∴MA＝MB，

在Rt△ABH中，∵AB＝2，∠BAH＝30°，∠AHB＝90°，

∴BH＝AB＝，AH＝BH＝3，

∵AD＝AB＝AG＝2，

∴HG＝2﹣3，

∴BG＝＝＝3﹣，

∴△BMG的周长＝BM+GM+BG＝AM+GM+BG＝AG+BG＝2+3﹣．

故答案为：．