Question

【题目】如图，在中，，．动点从点出发，沿以每秒个单位长度的速度向终点运动，当点与点、不重合时，过点作交折线于点，以为边向左作正方形．设正方形与重叠部分图形的面积为（平方单位），点运动的时间为（秒）．

　　　　 备用图

（1）用含的代数式表示的长．

（2）直接写出点在内部时的取值范围．

（3）求与之间的函数关系式．

（4）直接写出点落在的中位线所在直线上时的值．

Answer 1

【答案】（1）PQ=；（2）；（3）当时，；当时，；当时，；（4），，，．

【解析】

（1）分两种情况讨论:当点Q在线段AB上时,当点Q在线段AC上时;

（2）先计算M在边AB上时t的值,根据点M在△ABC内部时两个边界点即可解答;

（3）分三种情况:

①0＜t≤1时,正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形DNPQ,

②当1＜t＜ 时,正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是五边形ODNPQ,

③当≤t＜2时,正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是正方形MNPQ,

分别计算面积即可;

（4）点M落在△ABC的中位线所在直线上时,存在四种情况,画图可解答．

解:（1）由题意得:BP＝2t,

如图1,过A作AD⊥BC于D,

∵AB＝AC＝,BC＝4,

∴BD＝CD＝BC＝2，

∴AD＝,

∴tan∠B＝＝,

分两种情况:

①当点Q在线段AB上时,即0＜t≤1时,如图2,

∴tan∠B＝,

∴PQ＝t;

②当点Q在线段AC上时,即1＜t＜2时,如图3,

∴tan∠C＝tan∠B＝＝,

∴PQ＝PC＝＝2﹣t;

（2）当M在边AB上时,如图4,

由（1）知:MN＝PQ＝2﹣t＝PN,

tan∠B＝＝,

∴BN＝2MN,

∵BP＝BN+PN,

∴2t＝3MN＝3（2﹣t）,

t＝,

∴点M在△ABC内部时t的取值范围是＜t＜2;

（3）分三种情况:

①0＜t≤1时,如图5,正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是四边形DNPQ,

BP＝2t,PQ＝PN＝MD＝t,

∴BN＝2t﹣t＝t,

∴DN＝t＝DM,

∴S＝S正方形MNPQ﹣S△MDQ＝;

②当1＜t＜时,如图6,正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是五边形ODNPQ,

∵PQ＝PN＝MN＝2﹣t,

∴BN＝BP﹣PN＝2t﹣（2﹣t）＝3t﹣2,

∵tan∠B＝,DN＝BN＝ ,

∴DM＝MN﹣DN＝2﹣t﹣＝3﹣t,

∵tan∠MOD＝tan∠B＝＝,

∴OM＝2MD,

∴S＝S正方形MNPQ﹣S△MDO＝（2﹣t）2﹣＝（2﹣t）2﹣＝﹣ +11t﹣5;

③当≤t＜2时,如图7,正方形PQMN与△ABC重叠部分图形是正方形MNPQ,

S＝PQ2＝（2﹣t）2＝t2﹣4t+4;

综上,S与t之间的函数关系式为:S＝；

（4）存在四种情况:

①如图8,M在中位线MQ上,则Q是AB的中点,BQ＝,

∴BP＝1＝2t,

t＝;

②如图9,M在中位线MT上,则T是BC的中点,BT＝2,

∴MT∥AC,

∴∠C＝∠BTM,

∴tan∠BTM＝,

∴NT＝BP,

∵BP+TN﹣BT＝PN,

∴2t+2t﹣2＝t,t＝;

③如图10,M在中位线MQ上,

∴Q是AC的中点,

同理得CP＝1＝4﹣2t,t＝,

④如图11,M在中位线MT上,T是BC的中点,

CP＝TN＝4﹣2t,PQ＝PN＝2﹣t,

∵CT＝TN+PN+PC,

∴2＝2（4﹣2t）+2﹣t,

t＝;

综上,t的值是秒或秒或秒或秒．