Question

如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA₁B₁C的对角线A₁C和OB₁交于点M₁；以M₁A₁为对角线作第二个正方形A₂A₁B₂M，对角线A₁M₁和A₂B₂交于点M₂；以M₂A₁为对角线作第三个正方形A₃A₁B₃M₂，对角线A₁M₂和A₃B₃交于点M₃；…，依此类推，这样作的第6个正方形对角线交点的横坐标为________．

Answer 1

分析：根据正方形性质求出CM₁=A₁M₁，∠COA₁=∠M₁A₂A₁=90°，推出M₁A₂∥OC，得出OA₂=A₂A₁，根据三角形中位线求出M₁A₂=OC=×1=1，OA₂=A₂A₁=OA₁=×1=，即可求出M₁的坐标，同理求出M₂A₃=M₁A₂=，A₂A₃=A₃A₁=A₂A₁=，OA₃=+=，得出M₂的坐标，根据以上规律求出即可．
解答：∵四边形OCB₁A₁和四边形A₂A₁B₂M₁是正方形，
∴CM₁=A₁M₁，∠COA₁=∠M₁A₂A₁=90°，
∴M₁A₂∥OC，
∴OA₂=A₂A₁，
∴M₁A₂=OC=×1=1，OA₂=A₂A₁=OA₁=×1=，
即M₁的坐标是（，），
同理M₂A₃=M₁A₂=×=，A₂A₃=A₃A₁=A₂A₁=×=，
∴OA₃=+=
即M₂的坐标是（，），
同理M₃的坐标是（，），M₄坐标是（，），M₅的坐标是（，），M₆的坐标是（，），
故答案为：．
点评：本题考查了正方形性质，三角形的中位线的应用，关键是能根据求出的结果得出规律，横坐标是，纵坐标是（）ⁿ．