Question

如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．
（1）求证：△ACF∽△ABE；
（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形两锐角互余和CD是斜边上的高可以得到∠ACD=∠B，再根据AE是∠BAC的平分线可以得到∠CAE=∠EAB，利用两角对应相等，两三角形相似即可证明；
（2）根据相似三角形对应边成比例可得

AC

AB

=

AF

AE

，代入数据计算即可．

解答：（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，
∴∠ACD=90°-∠DCB，∠B=90°-∠DCB，
∴∠ACD=∠B，（2分）
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，（3分）
∴△ACF∽△ABE；（7分）

（2）解：∵△ACF∽△ABE，
∴

AC

AB

=

AF

AE

，（9分）
∴AE=

AB•AF

AC

=

10×3

6

=5cm．（10分）

点评：解答本题需要熟练掌握相似三角形的判定方法和相似三角形的对应边成比例．