Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，我把由两条射线AE，BF和以AB为直径的半圆所组成的图形叫作图形C（注：不含AB线段）。已知A（，），B（，），AE∥BF，且半圆与y轴的交点D在射线AE的反向延长线上。

（1）求两条射线AE，BF所在直线的距离；

（2）当一次函数的图象与图形C恰好只有一个公共点时，写出b的取值范围；

当一次函数的图象与图形C恰好只有两个公共点时，写出b的取值范围；

（3）已知□AMPQ（四个顶点A，M，P，Q按顺时针方向排列）的各顶点都在图形C上，且不都在两条射线上，求点M的横坐标x的取值范围。

             

Answer 1

[解] (1) 分别连结AD、DB，则点D在直线AE上，

　　　　 如图1,

　　　　 ∵ 点D在以AB为直径的半圆上，

　　　　 ∴∠ADB=90°,

　　　　 ∴ BD⊥AD.

　　　　 在Rt△DOB中，由勾股定理得

　　　　 BD==.

　　　　 ∵ AE//BF,两条射线AE、BF所在直线的距离为．

　　 (2) 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有一个公共点时，b的取值范围是

　　　　 b=或-1<b<1；

　　　　 当一次函数y=x+b的图象与图形C恰好只有两个公共点时，b的取值范围是

　　　　 1<b<；

　　 (3) 假设存在满足题意的□ AMPQ，根据点M的位置，分以下四种情况讨论：

　　　　 j 当点M在射线AE上时，如图2.

　　　　　 ∵ A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

　　　　　 ∴ 直线PQ必在直线AM的上方，

　　　　　 ∴ P、Q两点都在AD弧上，且不与A、D

　　　　　 重合. ∴ 0<PQ<.

　　　　　 ∵ AM//PQ且AM=PQ,

　　　　　 ∴ 0<AM<,∴ -2<x<-1.

　　　　 k 当点M在AD弧(不包括点D)上时，如图3.

　　　 　　∵ A、M、P、Q四点按顺时针方向排列，

　　　　　 ∴ 直线PQ必在直线AM的下方。

　　　　　 此时，不存在满足题意的平行四边形。

　　　　 l 当点M在DB弧上时，设DB弧的中点为R，

　　　　　 则OR//BF.

　　　　　 (i) 当点M在DR弧(不包括点R)上时，如图4.

　　　　　　　 过点M作OR的垂线交DB弧于点O，

　　　　　　　 垂足为点S，可得S是MQ的中点.

　　　　　　　 连结AS并延长交直线BF于点P.

　　　　　　　 ∵ O为AB的中点，可证S为AP的中点.

　　　　　　　 ∴ 四边形AMPQ为满足题意的平行四边形.

　　　　　　　 ∴ 0＜x<.

　　　　　 (ii) 当点M在RB上时，如图5.

　　　　　　　 直线PQ必在直线AM的下方.

　　　　　　　 此时，不存在满足题意的平行四边形.

　　　　 m 当点M在射线BF(不包括点B)上时，如图6.

　　　　　 直线PQ必在直线AM的下方.

　　　　　 此时，不存在满足题意的平行四边形.

　　　　 综上，点M的横坐标x的取值范围是-2<x<-1或0＜x<.