Question

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D为边CB上的一个动点（点D不与点B重合），过D作DE⊥AB，垂足为E，点B′在边AB上，且与点B关于直线DE对称，连接CB′，当△AB′C为等腰三角形时，BD的长$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{8}$．

Answer 1

分析 分三种情形①AC=AB′，②CA=CB′，③B′A=B′C，分别求解即可．

解答 解：如图1中，设DB=x，

在Rt△ABC中，∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴cos∠B=$\frac{BE}{BD}$=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{8}{10}$，
∴BE=$\frac{4}{5}$x，BB′=$\frac{8}{5}$x，
①当AC=AB′时，BB′=4，
∴$\frac{8}{5}$x=4，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴BD=$\frac{5}{2}$．
②如图2中，当CA=CB′时，作CH⊥AB于H．

由cos∠B=$\frac{BH}{BC}$=$\frac{4}{5}$，可得$\frac{\frac{10-\frac{8}{5}x}{2}+\frac{8}{5}x}{8}$=$\frac{4}{5}$，解得x=$\frac{7}{4}$．
∴BD=$\frac{7}{4}$．
③如图3中，当B′A=B′C时，作B′H⊥AC于H．

∵B′A=B′C，B′H⊥AC，
∴AH=CH，
∵B′H∥BC，
∴AB′=B′B，
∴$\frac{8}{5}$x=5，
∴x=$\frac{25}{8}$，
∴BD=$\frac{25}{8}$．
综上所述，当△AB′C为等腰三角形时，BD的长为$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{8}$．
故答案为$\frac{5}{2}$或$\frac{7}{4}$或$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程，属于中考常考题型．