Question

在菱形ABCD和正三角形BGF中，∠ABC=60°，P是DF的中点，连接PG、PC．

（1）如图1，当点G在BC边上时，易证：PG=PC．（不必证明）

（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，线段PC、PG有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给与证明；

（3）如图3，当点F在CB的延长线上时，线段PC、PG又有怎样的数量关系，写出你的猜想（不必证明）．

Answer 1

（1）提示：如图1：延长GP交DC于点E，

利用△PED≌△PGF，得出PE=PG，DE=FG，

∴CE=CG，

∴CP是EG的中垂线，

在RT△CPG中，∠PCG=60°，

∴PG=PC．

（2）如图2，延长GP交DA于点E，连接EC，GC，

∵∠ABC=60°，△BGF正三角形

∴GF∥BC∥AD，

∴∠EDP=∠GFP，

在△DPE和△FPG中

∴△DPE≌△FPG（ASA）

∴PE=PG，DE=FG=BG，

∵∠CDE=CBG=60°，CD=CB，

在△CDE和△CBG中，

∴△CDE≌△CBG（SAS）

∴CE=CG，∠DCE=∠BCG，

∴∠ECG=∠DCB=120°，

∵PE=PG，

∴CP⊥PG，∠PCG=∠ECG=60°

∴PG=PC．

（3）猜想：PG=PC．

证明：如图3，延长GP到H，使PH=PG，连接CH，CG，DH，作ME∥DC

∵P是线段DF的中点，

∴FP=DP，

∵∠GPF=∠HPD，

∴△GFP≌△HDP，

∴GF=HD，∠GFP=∠HDP，

∵∠GFP+∠PFE=120°，∠PFE=∠PDC，

∴∠CDH=∠HDP+∠PDC=120°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴CD=CB，∠ADC=∠ABC=60°，点A、B、G又在一条直线上，

∴∠GBC=120°，

∵四边形BEFG是菱形，

∴GF=GB，

∴HD=GB，

∴△HDC≌△GBC，

∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，

∴∠DCH+∠HCB=∠BCG+∠HCB=120°，

即∠HCG=120°

∵CH=CG，PH=PG，

∴PG⊥PC，∠GCP=∠HCP=60°，

∴PG=PC．