题目内容
如图，
（1）在△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是______．
（2）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的角平分线交于点D3，若∠BD3C的度数是n°，则∠A的度数是______（用含n的代数式表示）．
解：（1）∵∠A=52°，∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，
又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠ABD1=∠CBD1=
∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，
∴∠CBD1+∠BCD1=（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°，
∴∠BD1C=180°-（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°，
同理∠BD2C=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°-96°=84°，
依此类推，∠BD5C=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°-124°=56°．
故答案为：56°；
（2）由（1）可得：∠BD3C=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=n°．
解得：∠A=
．
故答案为：．
分析：（1）根据角平分线的性质可得到：∠ABD1=∠CBD1=∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，再根据三角形的内角和定理可得：∠BD1C的度数，再根据∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，可得∠D2BC=∠ABC，∠D2CB=∠ACB，进而求出∠BD2C=180°-（∠ABC+∠ACB），以此类推可得到：∠BD5C=180°-（∠ABC+∠ACB），再次利用三角形内角和代入∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求出答案．
（2）根据（1）中所求即可得出答案．
点评：此题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，关键是根据三角形的角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB与∠A的关系，并能找出∠BDnC与∠A的关系规律．
又∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，
∴∠ABD1=∠CBD1=
∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，∴∠CBD1+∠BCD1=
（∠ABC+∠ACB）=×128°=64°，∴∠BD1C=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°，同理∠BD2C=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°-96°=84°，依此类推，∠BD5C=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°-124°=56°．故答案为：56°；
（2）由（1）可得：∠BD3C=180°-
（∠ABC+∠ACB）=180°-（180°-∠A）=n°．解得：∠A=
．故答案为：
．分析：（1）根据角平分线的性质可得到：∠ABD1=∠CBD1=
∠ABC，∠ACD1=∠BCD1=∠ACB，再根据三角形的内角和定理可得：∠BD1C的度数，再根据∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，可得∠D2BC=∠ABC，∠D2CB=∠ACB，进而求出∠BD2C=180°-（∠ABC+∠ACB），以此类推可得到：∠BD5C=180°-（∠ABC+∠ACB），再次利用三角形内角和代入∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求出答案．（2）根据（1）中所求即可得出答案．
点评：此题主要考查了角平分线的性质和三角形的内角和定理，关键是根据三角形的角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB与∠A的关系，并能找出∠BDnC与∠A的关系规律．
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