Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．

（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；

（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．

Answer 1

（1）证明：过点O作OM⊥AB，

∵BD是∠ABC的一条角平分线，

∴OE=OM，

∵四边形OECF是正方形，

∴OE=OF，

∴OF=OM，

∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；

（2）解：∵在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，

∴AB===13，

设OE=CF=x，BE=BM=y，AM=AD=z，

∴，

解得：，

∴OE=2．