Question

9．如图，四边形ABCD中，AB=3，BC=2，若AC=AD且∠ACD=60°，则对角线BD的长最大值为5．

Answer 1

分析 如图，在AB的右侧作等边三角形△ABK，连接DK．由△DAK≌△CAB，推出DK=BC=2，因为DK+KB≥BD，DK=2，KB=AB=3，所以当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5．

解答 解：如图，在AB的右侧作等边三角形△ABK，连接DK．

∵AD=AC，AK=AB，∠DAC=∠KAB，
∴∠DAK=∠CAB，
在△DAK和△CAB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DA=CA}\\{∠DAK=∠CAB}\\{KA=BA}\end{array}\right.$，
∴△DAK≌△CAB，
∴DK=BC=2，
∵DK+KB≥BD，DK=2，KB=AB=3，
∴当D、K、B共线时，BD的值最大，最大值为DK+KB=5．
故答案为5．

点评 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，所以中考填空题中的压轴题．