Question

【题目】如图所示，平面直角坐标系中直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，点坐标为．点为直线上一点，过点作轴的垂线，垂足为，交抛物线于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，如果有，求点的坐标，如果没有，请说明理由；

（3）若点在线段上移动时（不含端点），连接，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）抛物线为；（2）存在；点M的坐标为（3，4）或（，）或（，）；（3）当t=时，=为△CMF的面积最大值．

【解析】

（1）由图形可得出点A、C的坐标，代入抛物线即可解得；

（2）假设存在，设M（t，t+1），则=t，解得DE=4，以D、E、M、N为顶点的的四边形是平行四边形，结合图形DE∥MN且DE=MN，列出方程式，求解即可；

（3）过C作CH⊥MF交FM延长线于H，得到，代入数据得到关于x的二次函数式，利用最值问题即可得出结果．

（1）∵直线过点A，

∴点A的坐标为（-1，0），

把点C（，5）代入直线解析式，

∴=5-1=4，即点C（4，5），

把点A（-1，0），C（4，5）代入抛物线解析式得

，

解得，

∴抛物线的解析式为：，

故答案为：；

（2）假设存在，设M（t，t+1），则=t，

∴，

当x=0时，，点D（0，1）

∴DE=4，

∵DE∥MN，且D、E、M、N为顶点的的四边形是平行四边形，

∴DE=MN，

∴MN==4，

∴，

∴或，

解，得=0（舍）或=3；

解，得=或=，

∴综上所述，点M的坐标为（3，4）或（，）或（，），

故答案为：存在；（3,4）或（，）或（，）；

（3）同（2）设M（t，t+1），

∵M在线段AC上，

∴-1<t<4，

过C作CH⊥MF交FM延长线于H，

，

=（t+1）（4-t），

=，

=，

当t=时，=为△CMF的面积最大值，

答：△CMF的面积最大值为，

故答案为：．