Question

如图，在平面直角坐标系中，以点M（0，

3

）为圆心，作⊙M交x轴于A、B两点，交y轴于C、D两点，连接AM并延长交⊙M于点P，连接PC交x轴于点E，连接DB，∠BDC=30°．
（1）求弦AB的长；
（2）求直线PC的函数解析式；
（3）连接AC，求△ACP的面积．

Answer 1

分析：（1）求出∠AMO的度数，得出等边三角形AMC，求出CM、OM，根据勾股定理求出OA，根据垂径定理求出AB即可；
（2）连接PB，求出PB饿值，即可得出P的坐标，求出C的坐标，设直线PC的解析式是y=kx+b，代入求出即可；
（3）分别求出△AMC和△CMP的面积，相加即可求出答案．

解答：（1）解：∵CD⊥AB，CD为直径，
∴弧AC=弧BC，
∴∠AMO=2∠P=2∠BDC=60°，
∵MA=MC，
∴△MAC是等边三角形，
∴MA=AC=MC，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MAO=30°，
∴AM=2OM=2

3

，
由勾股定理得：AO=3，
由垂径定理得：AB=2AO=6．

（2）解：连接PB，
∵AP为直径，
∴PB⊥AB，∴PB=

1

2

AP=2

3

，
∴P（3，2

3

），
∵MA=AC，AO⊥MC，
∴OM=OC=

3

，
C（0，-

3

）
设直线PC的解析式是y=kx+b，代入得：

2 3 =3k+b - 3 =b

，
解得：k=

3

，b=-

3

，
∴y=

3

x-

3

．

（3）解：P（3，2

3

），
∴S_△ACP=S_△ACM+S_△CPM，
=

1

2

×2

3

×3+

1

2

×2

3

×3=6

3

，
答：△ACP的面积是6

3

．

点评：本题综合考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，三角形的面积，用待定系数法求一次函数的解析式等知识点的运用，主要考查学生综合运用这些定理进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，但难度适中，是一道比较好的题目．