Question

已知：如图，是⊙O的直径，点是上任意一点，过点作弦点是上任一点，连结交于连结AC、CF、BD、OD．

【小题1】 （1）求证：；
【小题2】（2）猜想：与的数量关系，并证明你的猜想；
【小题3】 （3）试探究：当点位于何处时，△的面积与△的面积之比为1:2？并加以证明．

Answer 1

【小题1】（1）证明：∵ 弦CD⊥直径AB于点E， ∴ ． 
∴ ∠ACD =∠AFC．
又 ∵ ∠CAH=∠FAC，
∴ △ACH∽△AFC（两角对应相等的两个三角形相似）．--------------1分
【小题2】（2）猜想：AH·AF=AE·AB．
证明：连结FB．
∵ AB为直径，∴ ∠AFB=90°．
又∵ AB⊥CD于点E，∴ ∠AEH=90°．
∴． ∵ ∠EAH=∠FAB，
∴ △AHE∽△ABF．
∴ ．
∴ AH·AF=AE·AB．------------------------------------------------- -----3分
【小题3】（3）答：当点位于的中点（或）时，△的面积与△的面积之比为1:2．
证明：设 △的面积为,△的面积为．
∵ 弦CD⊥直径AB于点E， ∴ =，=．
∵位于的中点，∴．
又是⊙O的直径，∴ ．
∴．
又 由垂径定理知 CE=ED，∴ ．
∴ 当点位于的中点时，△的面积与△的面
积之比为1:2． -------------------------------------------------7分

解析